{"id":191033,"date":"2015-12-02T08:00:00","date_gmt":"2015-12-02T07:00:00","guid":{"rendered":"http:\/\/www.gamesfanatic.pl\/?p=191033"},"modified":"2017-12-22T09:06:57","modified_gmt":"2017-12-22T08:06:57","slug":"matematyka-w-grach-jak-wygrac-z-dzieckiem-w-memory","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/2015\/12\/02\/matematyka-w-grach-jak-wygrac-z-dzieckiem-w-memory\/","title":{"rendered":"Matematyka w grach – Jak wygra\u0107 z dzieckiem w memory?"},"content":{"rendered":"

\"memory\"<\/a>Graj\u0105c z dzie\u0107mi w wi\u0119kszo\u015b\u0107 gier, poza oczywi\u015bcie grami czysto losowymi, mamy cz\u0119sto problem, jak zmodyfikowa\u0107 zasady, \u017ceby dziecko mia\u0142o jakiekolwiek szanse na zwyci\u0119stwo. Memory<\/em> jest pod tym wzgl\u0119dem gr\u0105 wyj\u0105tkow\u0105. Nawet przedszkolaki zazwyczaj wygrywaj\u0105 z doros\u0142ymi. Dlaczego tak si\u0119 dzieje? S\u0105 na ten temat r\u00f3\u017cne hipotezy. By\u0107 mo\u017ce dzieci potrafi\u0105 bardziej skupi\u0107 si\u0119 na rozgrywce, a doro\u015bli s\u0105 bardziej podatni na r\u00f3\u017cne zewn\u0119trzne bod\u017ace, odwracaj\u0105ce uwag\u0119 i dekoncentruj\u0105ce? A mo\u017ce z m\u00f3zgiem cz\u0142owieka jest podobnie, jak z pami\u0119ci\u0105 komputera \u2013 dziecko ma du\u017ce bloki niczym jeszcze nie zapisane, a doros\u0142y ma m\u00f3zg \u201epofragmentowany\u201d i przez to pami\u0119\u0107 dzia\u0142a mniej efektywnie?\u00a0\u00a0\u00a0<\/p>\n

Zanim przejd\u0119 do matematyki, kilka informacji o historii gry. Za jej tw\u00f3rc\u0119 uwa\u017cany jest Szwajcar Heinrich Hurter, kt\u00f3ry w 1946 roku naklei\u0142 na tekturowe kwadraty powycinane z gazet i katalog\u00f3w obrazki, aby w ten spos\u00f3b zrobi\u0107 prezent dzieciom swojego syna Williama. Po 12 latach William Hurter zaproponowa\u0142 wydawnictwu Ravensburger wydanie tej gry i w lutym 1959 pojawi\u0142y si\u0119 w sklepach pierwsze egzemplarze memory<\/em>. Od tego czasu gra produkowana jest bez przerwy i co roku pojawia si\u0119 kilka nowych jej wersji, r\u00f3\u017cni\u0105cych si\u0119 tematyk\u0105 obrazk\u00f3w. Niekt\u00f3re z nich pos\u0142u\u017cy\u0142y jako przerywniki w tym tek\u015bcie.<\/p>\n

\"memory\"<\/a>Memory<\/em> jest znakiem towarowym, zarejestrowanym przez Ravensburgera, ale inne firmy wydaj\u0105 t\u0119 sam\u0105 gr\u0119 pod innymi nazwami, np. memo, memos, pami\u0119\u0107<\/em> itp. Zreszt\u0105 gra z identyczn\u0105 mechanik\u0105, ale przy u\u017cyciu zwyk\u0142ej talii kart, w kt\u00f3rej par\u0105 dla si\u00f3demki trefl by\u0142a si\u00f3demka pik, a par\u0105 dla damy kier \u2013 dama karo, znana by\u0142a ju\u017c wcze\u015bniej pod nazw\u0105 Concentration<\/em>, a jeszcze wcze\u015bniej, bo w XVI wieku, w Japonii grano przy u\u017cyciu muszelek w Kai-Awase<\/em><\/a>.<\/p>\n

\"memory\"<\/a>Zasady memory<\/em> znaj\u0105 chyba wszyscy, ale dla porz\u0105dku streszcz\u0119 je w kilku zdaniach. Jedynymi rekwizytami w grze s\u0105 kwadratowe karty z obrazkami po jednej stronie. Ka\u017cda karta ma swoj\u0105 par\u0119 czyli kart\u0119 z identycznym obrazkiem. (W niekt\u00f3rych wydaniach, zamiast\u00a0identycznych obrazk\u00f3w, s\u0105 obrazki do siebie pasuj\u0105ce, np. czynniki i iloczyn jak w grze Dwa razy dwa<\/em> albo ten sam przedmiot w wersji z roku 1959 i 2009, jak w jubileuszowym wydaniu z podtytu\u0142em Zeitreise czyli Podr\u00f3\u017c w czasie<\/em>). Karty miesza si\u0119 i rozk\u0142ada na stole obrazkami do do\u0142u. Gracz, na kt\u00f3rego przypada kolejka, odkrywa kolejno i pokazuje wszystkim dwie karty, Je\u017celi trafi par\u0119, k\u0142adzie j\u0105 przed sob\u0105 i szuka dalej. Je\u017celi nie trafi, odk\u0142ada karty z powrotem na st\u00f3\u0142, obrazkami do do\u0142u. Gra si\u0119 do momentu, gdy ze sto\u0142u zabrane zostan\u0105 wszystkie karty, a wygrywa ten, kto zebra\u0142 najwi\u0119cej par.<\/p>\n

\"memory\"<\/a>Podobnie, jak np. w przypadku szach\u00f3w<\/em>, w memory<\/em> mo\u017cna wyr\u00f3\u017cni\u0107 trzy fazy gry: debiut, gr\u0119 \u015brodkow\u0105 i ko\u0144c\u00f3wk\u0119. Debiut to kilka pierwszych ruch\u00f3w, w zasadzie czysto przypadkowych, bo rzadko kiedy odkrywane s\u0105 obrazki, kt\u00f3re ju\u017c wcze\u015bniej si\u0119 pojawi\u0142y. Mo\u017cna wi\u0119c uzna\u0107 t\u0119 faz\u0119 za w pe\u0142ni losow\u0105. W grze \u015brodkowej szcz\u0119\u015bcie nadal odgrywa pewn\u0105 rol\u0119, ale bardziej liczy si\u0119 zapami\u0119tywanie tego, gdzie le\u017c\u0105 karty, kt\u00f3re zosta\u0142y ju\u017c\u00a0 przez kogo\u015b odkryte. W obu tych fazach nie ma miejsca na strategi\u0119. O strategii mo\u017cna my\u015ble\u0107 dopiero w ko\u0144c\u00f3wce, gdy na stole pozosta\u0142o niewiele kart. I w\u0142a\u015bnie analiz\u0119 ko\u0144c\u00f3wki, pozwalaj\u0105c\u0105 na dob\u00f3r w\u0142a\u015bciwej strategii w grze memory<\/em>, przeprowadzili Uri Zwick i Michael Paterson z Uniwersytetu Warwick, Coventry, UK, a wyniki opublikowali w roku 1991 w artykule, zamieszczonym w czasopi\u015bmie Theoretical Computer Science<\/a>.<\/p>\n

\"memory\"<\/a>Okaza\u0142o si\u0119 zreszt\u0105, \u017ce podobne badania przeprowadzi\u0142 ju\u017c w roku 1983 Sabih Gerez, w\u00f3wczas student Wydzia\u0142u Elektrycznego holenderskiego Uniwersytetu Twente. Wprawdzie jego prac\u0119 semestraln\u0105 mo\u017cna znale\u017a\u0107 w internecie<\/a>,\u00a0ale jest to niestety skan r\u0119kopisu i to napisanego w j\u0119zyku holenderskim.<\/p>\n

O ko\u0144c\u00f3wce w grze memory<\/em> mo\u017cemy m\u00f3wi\u0107 wtedy, gdy na stole pozosta\u0142o ju\u017c niewiele kart. Oczywi\u015bcie liczba tych kart musi by\u0107 parzysta, mo\u017cemy wi\u0119c powiedzie\u0107, ze na stole le\u017cy n par kart. Zwick i Paterson przyj\u0119li za\u0142o\u017cenie, \u017ce w grze bior\u0105 udzia\u0142 dwie osoby i obie maj\u0105 tak\u0105 sam\u0105 wiedz\u0119 o le\u017c\u0105cych na stole kartach. Innymi s\u0142owy: je\u017celi jeden z graczy wie, jaki obrazek jest na pewnej karcie, to drugi gracz te\u017c zna ten obrazek. Liczba znanych obrazk\u00f3w wynosi k, znane obrazki nie powtarzaj\u0105 si\u0119 i zachodz\u0105 nier\u00f3wno\u015bci 0 \u2264 k \u2264 n<\/strong>. Popatrzmy, jak to wygl\u0105da w praktyce.<\/p>\n

Je\u017celi na stole le\u017c\u0105 tylko dwie karty, to oczywi\u015bcie musz\u0105 one stanowi\u0107 jedn\u0105 par\u0119 i podnosz\u0105c karty w dowolnej kolejno\u015bci, gracz t\u0119 par\u0119 zabiera. Je\u017celi na stole le\u017c\u0105 cztery karty i nic o nich nie wiemy, to jest ju\u017c znacznie gorzej. Gdy gracz podniesie dowoln\u0105 kart\u0119 z tych czterech, a nast\u0119pnie jedn\u0105 z trzech pozosta\u0142ych, mo\u017ce trafi\u0107 par\u0119 z prawdopodobie\u0144stwem r\u00f3wnym 1\/3. I gdy faktycznie trafi, to drug\u0105 par\u0119 te\u017c zabiera. Ale gdy nie trafi, to przeciwnik bez trudu zdob\u0119dzie obie pary. Mo\u017cna zatem policzy\u0107 warto\u015b\u0107 wygranej, a w zasadzie przegranej pierwszego gracza: 1\/3 * 2 + 2\/3 * (-2) = -2\/3<\/strong>. Za\u0142\u00f3\u017cmy teraz, \u017ce na stole le\u017c\u0105 cztery karty, tym razem jednak gracz pami\u0119ta obrazek na jednej z nich. Oznaczmy ten obrazek liter\u0105 A. Je\u017celi odkryje jedn\u0105 z trzech pozosta\u0142ych i trafi na niej obrazek A, to oczywi\u015bcie zabierze obie pary. Prawdopodobie\u0144stwo takiego zdarzenia wynosi 1\/3, natomiast z prawdopodobie\u0144stwem 2\/3 gracz odkryje kart\u0119 z innym obrazkiem (nazwijmy go B). Na stole zosta\u0142y dwie karty, wi\u0119c teraz z prawdopodobie\u0144stwem \u00bd gracz znajdzie obrazek B i zdob\u0119dzie obie pary i r\u00f3wnie\u017c z prawdopodobie\u0144stwem \u00bd \u201espud\u0142uje\u201d i obie pary zdob\u0119dzie przeciwnik. Tak wi\u0119c dla przypadku dw\u00f3ch par i jednej znanej karty, wygrana pierwszego gracza wygl\u0105da nast\u0119puj\u0105co: 1\/3 * 2 + 2\/3 * (\u00bd\u00a0\u00a0 * 2 + \u00bd * (-2)) = 2\/3<\/strong>. Oczywi\u015bcie gdy gracz pami\u0119ta dwie karty z czterech le\u017c\u0105cych na stole, zdobywa obie pary z prawdopodobie\u0144stwem r\u00f3wnym 1 czyli jego wygrana wynosi 2. Oznaczaj\u0105c przez Vn,k<\/sub> oczekiwan\u0105 warto\u015b\u0107 wygranej pierwszego gracza, gdy na stole jest n par kart, a gracz pami\u0119ta po\u0142o\u017cenie k kart, mo\u017cemy wyniki dotychczasowych oblicze\u0144 zapisa\u0107 jako:<\/p>\n

V1,0<\/sub> = 1<\/p>\n

V1,1<\/sub> = 1<\/p>\n

V2,0<\/sub> = -2\/3<\/p>\n

V2,1<\/sub> = 2\/3<\/p>\n

V2,2<\/sub> = 2<\/p>\n

Za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce na stole le\u017cy teraz sze\u015b\u0107 kart czyli trzy pary. Zacznijmy \u201eod g\u00f3ry\u201d czyli od sytuacji, w kt\u00f3rej gracze znaj\u0105 trzy spo\u015br\u00f3d le\u017c\u0105cych na stole kart (wi\u0119cej ni\u017c trzech pami\u0119tanych kart by\u0107 nie mo\u017ce, bo za\u0142o\u017cyli\u015bmy, \u017ce k \u2264 n). Przy prawid\u0142owej grze pierwszego gracza czyli odkrywaniu jako pierwszej karty nieznanej, a nast\u0119pnie pasuj\u0105cej do niej karty znanej\u00a0 V3,3<\/sub> = 3. W przypadku, gdy znane s\u0105 dwie karty A i B, pierwszy gracz odkrywa jedn\u0105 z czterech pozosta\u0142ych czyli A, B, C i C. Gdy odkryje kart\u0119 A lub B (szansa na to jest \u00bd), zabiera par\u0119 i sytuacja sprowadza si\u0119 do opisanego wcze\u015bniej przypadku, gdy znana jest jedna karta z czterech. Gdy pierwszy gracz odkryje kart\u0119 C (szansa na to te\u017c jest 1\/2 ), to jako drug\u0105 odkrywa jedn\u0105 z trzech nieznanych kart. Z prawdopodobie\u0144stwem 1\/3 mo\u017ce to by\u0107 karta C i wtedy zdobywa wszystkie trzy pary, ale gdy nie trafi, wszystkie trzy pary zdobywa przeciwnik. A zatem:<\/p>\n

V3,2<\/sub> = \u00bd * (1 +V2,1<\/sub>) + \u00bd * (1\/3 * 3 + 2\/3 * (-3)) = 1\/3<\/strong>.<\/p>\n

Rozpatrzmy teraz sytuacj\u0119, w kt\u00f3rej gracz zna jedn\u0105 z sze\u015bciu le\u017c\u0105cych na stole kart i oznaczmy t\u0119 znan\u0105 kart\u0119 liter\u0105 A. Odkrywaj\u0105c losowo jedn\u0105 z pozosta\u0142ych kart, gracz mo\u017ce z prawdopodobie\u0144stwem 1\/5 trafi\u0107 kart\u0119 A i wtedy zdobywa jedn\u0105 par\u0119, a na stole zostaj\u0105 cztery nieznane karty, natomiast z prawdopodobie\u0144stwem 4\/5 odkrywa inn\u0105 kart\u0119 ni\u017c A. Oznaczmy t\u0119 odkryt\u0105 kart\u0119 przez B. Jako drug\u0105 kart\u0119 gracz mo\u017ce z prawdopodobie\u0144stwem \u00bc odkry\u0107 B \u2013 wtedy zdobywa par\u0119 i zna jedn\u0105 kart\u0119 z czterech le\u017c\u0105cych na stole. R\u00f3wnie\u017c z prawdopodobie\u0144stwem \u00bc mo\u017ce odkry\u0107 kart\u0119 A i mamy sytuacj\u0119 odwrotn\u0105 \u2013 przeciwnik zdobywa par\u0119 i zna jedn\u0105 kart\u0119 z czterech. Najwi\u0119ksza jednak szansa \u2013 \u00bd jest na sytuacj\u0119 najgorsz\u0105 czyli odkrycie karty C, bo wtedy przeciwnik zabiera kolejno wszystkie trzy pary. Reasumuj\u0105c:<\/p>\n

V3,1<\/sub> = 1\/5 * (1 + V2,0 <\/sub>) + 4\/5 * (1\/4 * V2,1<\/sub> + \u00bc * (-V2,1<\/sub>) + \u00bd * (-3)) = -17\/15<\/strong>.<\/p>\n

Ale gracz pierwszy mo\u017ce te\u017c zagra\u0107 inaczej. Je\u017celi odkryta karta jest inna ni\u017c ta, kt\u00f3r\u0105 pami\u0119ta, mo\u017ce zamiast odkrywania drugiej nieznanej wybra\u0107 t\u0119, o kt\u00f3rej wie, \u017ce na pewno nie pasuje! Co si\u0119 wtedy stanie? Do gry przyst\u0119puje wtedy drugi gracz i zna dwie karty z sze\u015bciu le\u017c\u0105cych na stole. A zatem:<\/p>\n

V3,1<\/sub> = 1\/5 * (1 + V2,0 <\/sub>) + 4\/5 * (-V3,2<\/sub>) = – 1\/5<\/strong><\/p>\n

Jak wida\u0107, to na poz\u00f3r bezsensowne zagranie, daje pierwszemu graczowi mniejsz\u0105 strat\u0119 czyli statystyczn\u0105 korzy\u015b\u0107.<\/p>\n\n