{"id":57296,"date":"2015-06-17T10:02:09","date_gmt":"2015-06-17T08:02:09","guid":{"rendered":"http:\/\/www.gamesfanatic.pl\/?p=57296"},"modified":"2015-06-17T21:26:48","modified_gmt":"2015-06-17T19:26:48","slug":"prawdopodobienstwo-i-statystyka-dla-opornych-graczy","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/2015\/06\/17\/prawdopodobienstwo-i-statystyka-dla-opornych-graczy\/","title":{"rendered":"Prawdopodobie\u0144stwo i statystyka dla opornych graczy"},"content":{"rendered":"

\"k6\"<\/a>Wiele gier planszowych (w tym niemal wszystkie wojenne) wykorzystuje w swoich mechanikach przeno\u015bne kinetyczne generatory liczb losowych zwane tak\u017ce kostkami. Ich wykorzystanie wi\u0105\u017ce si\u0119 z nieod\u0142\u0105cznym kalkulowaniem przez graczy szans na odniesienie sukcesu\u2026 Cz\u0119sto jest to kalkulowanie \u201ena oko\u201d. Jednak\u017ce z takim wyliczaniem szans nieod\u0142\u0105cznie powi\u0105zane s\u0105 dwa dzia\u0142y matematyki \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka. Chcia\u0142bym dzisiaj troch\u0119 pom\u00f3c wszystkim tym, kt\u00f3rym te dwie nazwy bardzo brzydko si\u0119 kojarz\u0105. Nie b\u00f3jcie si\u0119, b\u0119dzie prosto\u2026<\/p>\n

W plansz\u00f3wkach najcz\u0119\u015bciej u\u017cywana jest kostka sze\u015bcienna, czyli taka, kt\u00f3ra daje nam w wyniku liczb\u0119 z zakresu od 1 do 6. Najcz\u0119\u015bciej w instrukcjach i opisach oznacza si\u0119 j\u0105 jako k6 lub d6 (od ang. dice), gdzie 6 oznacza zakres mo\u017cliwych do uzyskania wynik\u00f3w. \u00a0Oczywi\u015bcie rodzaj\u00f3w kostek jest wi\u0119cej \u2013 k4, k6, k8, k10, k12, k20, k100. S\u0105 te\u017c mutacje nietypowe jak k3 (czyli wynik z k6 podzielony przez 2) czy k66 (gdzie pierwsza k6 oznacza dziesi\u0105tki a druga jedno\u015bci). Chocia\u017c w dalszej cz\u0119\u015bci skupi\u0119 si\u0119 na k6, to wszystkie opisane regu\u0142y i schematy odnosz\u0105 si\u0119 do ka\u017cdej kostki \u2013 zmieniaj\u0105 si\u0119 tylko konkretne liczby.<\/p>\n

Idealna, dobrze wywa\u017cona kostka zapewnia identyczn\u0105 szans\u0119 na uzyskanie ka\u017cdej z dost\u0119pnych liczb. Oczywi\u015bcie pomijam tutaj sposoby uk\u0142adania kostki w r\u0119ku i rzucania w taki spos\u00f3b, aby uzyska\u0107 oczekiwany wynik. Przyjmijmy, \u017ce korzystamy z kubeczka i rzucaj\u0105cy nie mo\u017ce manipulowa\u0107 kostk\u0105. A wi\u0119c jak ju\u017c wspomnia\u0142em, \u00a0ka\u017cda ze \u015bcianek kostki ma identyczn\u0105 szans\u0119 aby znale\u017a\u0107 si\u0119 na wierzchu. Co to w\u0142a\u015bciwie oznacza?<\/p>\n

Kostka sze\u015bcienna ma sze\u015b\u0107 mo\u017cliwych wynik\u00f3w \u2013 1, 2, 3, 4, 5, 6. Oznacza to, \u017ce szansa na to, \u017ce wypadnie jedna konkretna cyfra wynosi 1 do 6. Jest to zapisywane jako (1:6) lub cz\u0119\u015bciej (1\/6) i mo\u017cna to traktowa\u0107 jako zwyk\u0142y u\u0142amek. Mo\u017cna te\u017c wyliczy\u0107 klasyczne procentowe prawdopodobie\u0144stwo (1 \/ 6) = (0,1667), dalej (0,1667 * 100%) = (16,67%), czyli szansa, na uzyskanie 1 na k6 wynosi 16,67%.<\/p>\n

Mo\u017cna zapis (1\/6) rozpatrywa\u0107 w dw\u00f3ch kategoriach. Z punktu widzenia prawdopodobie\u0144stwa oznacza to, \u017ce mamy jedn\u0105 szans\u0119 na sze\u015b\u0107, \u017ce nam si\u0119 powiedzie. Z punktu widzenia statystyki oznacza to, \u017ce rzucaj\u0105c sze\u015bcioma kostkami powinni\u015bmy uzyska\u0107 jeden sukces, czyli przy jednej kostce mamy jedn\u0105 sz\u00f3st\u0105 sukcesu. Prawie to samo, ale jednak zupe\u0142nie co innego. Prawdopodobie\u0144stwo zajmuje si\u0119 szansami na sukces i zastosujemy je dla niewielkiej ilo\u015bci pr\u00f3b. Statystyka zajmuje si\u0119 wielk\u0105 ilo\u015bci\u0105 pr\u00f3b (np. dziesi\u0119\u0107 tysi\u0119cy rzut\u00f3w) i pozwala na szacowanie, ile powinno by\u0107 sukces\u00f3w przy danej ilo\u015bci pr\u00f3b. Oznacza to, \u017ce u\u017cywanie statystyki dla ma\u0142ej ilo\u015bci pr\u00f3b jest nadu\u017cyciem i \u00a0mo\u017ce by\u0107 obarczone du\u017cym b\u0142\u0119dem. Jednak w praktyce jest najprostszym sposobem szacowania szansy na powodzenie wykonania danej czynno\u015bci w grze.<\/p>\n

\"duzo\"<\/a>Wracaj\u0105c do kostek. Je\u017celi interesuj\u0105 nas dwie liczby z sze\u015bciu, to mamy (2\/6). Dla trzech jest (3\/6) i dalej dla czterech (4\/6), i pi\u0119ciu (5\/6). Czyli je\u015bli uzyskamy sukces po wyrzuceniu 5 lub 6 (czyli klasyczny sukces na 5+ z np. Here I Stand), to mamy na to dwie szansy na sze\u015b\u0107 czyli (2\/6). Mo\u017cna zastosowa\u0107 klasyczne skracanie u\u0142amk\u00f3w do (1\/3). To oznacza 33,33% na uzyskanie sukcesu na jednej kostce. Niestety, dla wielu os\u00f3b, mo\u017ce to nie by\u0107 zbyt intuicyjne. Sprawy dodatkowo si\u0119 komplikuj\u0105, je\u017celi rzucamy wieloma kostkami.<\/p>\n

Dlatego, aby upro\u015bci\u0107 ca\u0142\u0105 spraw\u0119, b\u0119d\u0119 od teraz u\u017cywa\u0142 mieszanki statystyki i prawdopodobie\u0144stwa. Jest ona niezbyt poprawna z czysto matematycznego punktu widzenia, jednak nie b\u0119dziemy si\u0119 tym przejmowa\u0107.<\/p>\n

W tym momencie musz\u0119 opowiedzie\u0107 Wam o zdarzeniach zale\u017cnych i niezale\u017cnych.<\/p>\n

Ze zdarzeniami niezale\u017cnymi mamy do czynienia wtedy, gdy rzucamy wieloma kostkami i nie ma znaczenia, co wypadnie na poszczeg\u00f3lnych kostkach. Przyk\u0142adowo, rzucamy dwiema kostkami i interesuje nas jeden sukces 5+ na kt\u00f3rejkolwiek kostce. Mo\u017cemy w takiej sytuacji u\u017cy\u0107 dodawania.<\/p>\n

(1\/3 + 1\/3) = (2\/3) lub te\u017c po prostu (2 * 1\/3) = (2\/3)<\/p>\n

Oznacza to, \u017ce mamy (2\/3) sukcesu. Je\u017celiby\u015bmy rzucali trzema kostkami, wtedy mieliby\u015bmy (3\/3), czyli mogliby\u015bmy oczekiwa\u0107 ca\u0142ego jednego sukcesu. Ale uwaga. Chocia\u017c wydaje si\u0119, \u017ce statystycznie mamy pe\u0142ne szanse na co najmniej jeden sukces, to prawdopodobie\u0144stwo lubi wtr\u0105ci\u0107 swoje trzy grosze i mo\u017ce si\u0119 okaza\u0107, \u017ce nie uzyskamy \u017cadnego sukcesu \u2013 o tym jednak p\u00f3\u017aniej.<\/p>\n

Je\u017celi u\u017cyjemy wi\u0119kszej ilo\u015bci kostek, to mo\u017cemy oczekiwa\u0107 odpowiednio wi\u0119kszej ilo\u015bci sukces\u00f3w. Dla o\u015bmiu kostek mamy (8*1\/3) = (8\/3) = (2+2\/3), czyli dwa pewne sukcesy i jeden bardzo prawdopodobny.<\/p>\n

Zdarzenia s\u0105 zale\u017cne wtedy, gdy do wyst\u0105pienia sukcesu konieczne jest uzyskanie konkretnych wynik\u00f3w w ka\u017cdym z nich. Mo\u017ce to wyst\u0105pi\u0107 np. wtedy, gdy dwa razy pod rz\u0105d musimy uzyska\u0107 5+ na kostce. Je\u017celi chocia\u017c w jednym rzucie si\u0119 nie uda, to nie ma sukcesu. Innymi s\u0142owy, rzucaj\u0105c dwiema kostkami, musimy na obu uzyska\u0107 sukces. W takiej sytuacji stosujemy mno\u017cenie.<\/p>\n

(1\/3 * 1\/3) = (1\/9)<\/p>\n

Oznacza to, \u017ce trzeba rzuci\u0107 dwiema kostkami a\u017c dziewi\u0119\u0107 razy, aby uzyska\u0107 statystyczn\u0105 pewno\u015b\u0107 sukcesu polegaj\u0105cego na uzyskaniu na obu kostkach pi\u0105tki lub sz\u00f3stki.<\/p>\n

Najcz\u0119\u015bciej jednak w grach planszowych interesuje nas szansa powodzenia zdarze\u0144 niezale\u017cnych, wi\u0119c wystarczy ograniczy\u0107 si\u0119 do prostszego dodawania.<\/p>\n

Czas na bardziej konkretny przyk\u0142ad.<\/p>\n

Powiedzmy, \u017ce w Here I Stand szykujemy si\u0119 do bitwy. Podczas bitwy ka\u017cda jednostka pozwala na rzucenie jedn\u0105 kostk\u0105, na kt\u00f3rej uzyskuje si\u0119 sukces na 5+. Wr\u00f3g ma armi\u0119 licz\u0105ca cztery jednostki. Chcemy mu j\u0105 ca\u0142kowicie zniszczy\u0107 i musimy oszacowa\u0107 jakie si\u0142y trzeba wydzieli\u0107 do tego zadania. Mamy na r\u0119ku kart\u0119, kt\u00f3ra pozwoli nam rzuci\u0107 dodatkowymi czterema kostkami z sukcesem na 4+. Oznacza to szans\u0119 na jednej kostce (3\/6) czyli (1\/2). Tak wi\u0119c \u00a0(4 * 1\/2) =(2) \u2013 czyli mo\u017cemy oczekiwa\u0107 dw\u00f3ch sukces\u00f3w z karty. Potrzebujemy jeszcze dwa sukcesy. Zwyk\u0142e oddzia\u0142y trafiaj\u0105 na 5+, czyli szansa wynosi (1\/3), a wi\u0119c aby uzyska\u0107 dwa sukcesy potrzebujemy co najmniej sze\u015b\u0107 kostek: \u00a0(6 * 1\/3) = (2). Musimy wi\u0119c wys\u0142a\u0107 armi\u0119 sk\u0142adaj\u0105ca si\u0119 z co najmniej sze\u015bciu oddzia\u0142\u00f3w.<\/p>\n

\"dice\"<\/a>Na zako\u0144czenie musimy jednak wr\u00f3ci\u0107 do czystego prawdopodobie\u0144stwa. Wcze\u015bniej napisa\u0142em, \u017ce przy trzech kostkach na 5+ mamy statystyczn\u0105 pewno\u015b\u0107 jednego sukcesu. Jednak nale\u017cy pami\u0119ta\u0107, \u017ce mo\u017ce si\u0119 zdarzy\u0107, \u017ce nie uzyskamy na trzech kostkach ani jednej sz\u00f3stki i pi\u0105tki. Aby policzy\u0107 jakie s\u0105 na to szanse, pos\u0142u\u017cymy si\u0119 prawdopodobie\u0144stwem odwrotnym. Co to takiego? Gdy rzucamy trzema kostkami mo\u017cemy uzyska\u0107 zero, jeden, dwa lub trzy sukcesy. Najcz\u0119\u015bciej interesuje nas \u201eco najmniej jeden sukces\u201d. Aby policzy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo takiego zdarzenia, musieliby\u015bmy policzy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo dla jednego, dw\u00f3ch i trzech sukces\u00f3w, a p\u00f3\u017aniej je zsumowa\u0107. Poniewa\u017c jednak wiemy, \u017ce wszystkie prawdopodobie\u0144stwa sk\u0142adowe danego rzutu sumuj\u0105 si\u0119 do 1 (lub 100%), to wiemy r\u00f3wnie\u017c, \u017ce wystarczy policzy\u0107 prawdopodobie\u0144stwo dla braku sukces\u00f3w i odj\u0105\u0107 je od 1.<\/p>\n

Aby nie wyst\u0105pi\u0142 \u017caden sukces, musimy na wszystkich trzech kostkach uzyska\u0107 wyniki z zakresu 1-4. Oznacza to na jednej kostce szans\u0119 (2\/3). Poniewa\u017c istotne jest, co wypadnie na ka\u017cdej kostce, wi\u0119c mamy do czynienia ze zdarzeniami zale\u017cnymi, czyli u\u017cywamy mno\u017cenia.
\n(2\/3 * 2\/3 * 2\/3) = (8\/27) = (0,2963) = (29,63%)<\/p>\n

(1 – 8\/27) = (19\/27)=(0,7037) = (70,37%)<\/p>\n

Tak wi\u0119c szansa, \u017ce uzyskamy co najmniej jeden sukces wynosi \u00a070% i a\u017c 30% na brak sukcesu. Jak wi\u0119c ju\u017c pisa\u0142em na pocz\u0105tku \u2013 zastosowanie statystyki do tak ma\u0142ej ilo\u015bci rzut\u00f3w jest obarczone du\u017cym b\u0142\u0119dem. Jednak\u017ce dop\u00f3ki o tym pami\u0119tamy, jest to najszybszy i najprostszy spos\u00f3b, aby oszacowa\u0107 szanse powodzenia naszych dzia\u0142a\u0144. Warto wi\u0119c pami\u0119ta\u0107 o mo\u017cliwym b\u0142\u0119dzie i szacowa\u0107 \u201ez g\u00f3rk\u0105\u201d. Potrzeba sze\u015bciu kostek? To na wszelki wypadek dam osiem.<\/p>\n

Bo konia z rz\u0119dem temu, kto na szybko w czasie rozgrywki przeprowadzi w pe\u0142ni poprawne matematycznie obliczenia \u00a0prawdopodobie\u0144stwa, aby oceni\u0107 ile b\u0119dzie potrzebowa\u0142 oddzia\u0142\u00f3w do zniszczenia przyk\u0142adowej armii przeciwnika.<\/p>\n

<\/div>
<\/div>\n

Micha\u0142 Stajszczak:<\/strong><\/p>\n

Sprawdzi\u0142em, jak w rzeczywisto\u015bci wygl\u0105da rozk\u0142ad prawdopodobie\u0144stwa w podanym przez autora przyk\u0142adzie, zwi\u0105zanym z gr\u0105 Here I Stand. Ot\u00f3\u017c rzucaj\u0105c czterema kostkami na 4+ i sze\u015bcioma na 5+ mamy 62% szans na pokonanie wszystkich czterech jednostek przeciwnika, 21,7% na pokonanie trzech, 11,9% na pokonanie dw\u00f3ch oraz 3,8% na pokonanie jednej. Ale istnieje tez niewielka szansa 0,6%, \u017ce \u017cadnej jednostki nie pokonamy, bo na \u017cadnej kostce nie uzyskamy wystarczaj\u0105cej liczby oczek.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Wiele gier planszowych (w tym niemal wszystkie wojenne) wykorzystuje w swoich mechanikach przeno\u015bne kinetyczne generatory liczb losowych zwane tak\u017ce kostkami. Ich wykorzystanie wi\u0105\u017ce si\u0119 z nieod\u0142\u0105cznym kalkulowaniem przez graczy szans na odniesienie sukcesu\u2026 Cz\u0119sto jest to kalkulowanie \u201ena oko\u201d. Jednak\u017ce z takim wyliczaniem szans nieod\u0142\u0105cznie powi\u0105zane s\u0105 dwa dzia\u0142y matematyki \u2013 prawdopodobie\u0144stwo i statystyka. Chcia\u0142bym …<\/p>\n","protected":false},"author":8846,"featured_media":57300,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"cybocfi_hide_featured_image":"","footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"post_folder":[],"class_list":["post-57296","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/57296","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8846"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=57296"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/57296\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/media\/57300"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=57296"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=57296"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=57296"},{"taxonomy":"post_folder","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/post_folder?post=57296"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}