![\"\"](\"https:\/\/www.gamesfanatic.pl\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/pacioli.jpg\")
<\/a>Luca Pacioli<\/p><\/div>\n
Luca Pacioli<\/strong> opublikowa\u0142 w 1494 obszerne dzie\u0142o Summa de Arithmetica Geometria Proportioni Et Proportionalita<\/i>, zawieraj\u0105ce praktycznie ca\u0142\u0105 \u00f3wczesn\u0105 wiedz\u0119 na temat matematyki i jej praktycznego zastosowania. M.in. dzi\u0119ki tej ksi\u0105\u017cce upowszechniona zosta\u0142a \u201eregu\u0142a podw\u00f3jnego zapisu\u201d (ewidencjonowania ka\u017cdej operacji na kontach \u201ewinien\u201d i \u201ema\u201d) i dlatego Pacioli nazywany bywa \u201eojcem rachunkowo\u015bci\u201d. Z tej ksi\u0105\u017cki pochodzi te\u017c pierwsze sformu\u0142owanie problemu podzia\u0142u nagrody meczowej, nazywanego tak\u017ce \u201eproblemem punkt\u00f3w\u201d (po angielsku Problem of Points).<\/p>\n Dwaj gracze rozgrywali mecz do 6 punkt\u00f3w o nagrod\u0119 w wysoko\u015bci 10 dukat\u00f3w. Jednak przy stanie 5:2 mecz musia\u0142 zosta\u0107 przerwany z przyczyn niezale\u017cnych od obu zawodnik\u00f3w. Jaki b\u0119dzie sprawiedliwy podzia\u0142 nagrody? Pacioli uzna\u0142, \u017ce nagrod\u0119 nale\u017cy podzieli\u0107 proporcjonalnie do zdobytych punkt\u00f3w, a zatem pierwszemu z graczy przydzieli\u0107 5\/7 puli czyli 7 i 1\/7 dukata, a drugiemu 2\/7, czyli 2 i 6\/7 dukata. Autor tak to zapisa\u0142, bo u\u0142amki dziesi\u0119tne rozpowszechni\u0142y si\u0119 dopiero dwie\u015bcie lat p\u00f3\u017aniej. Dla wsp\u00f3\u0142czesnego czytelnika bardziej zrozumia\u0142a b\u0119dzie chyba informacja, \u017ce jeden z graczy powinien dosta\u0107 71,4%, a drugi 28,6% puli.<\/p>\n Drugi przyk\u0142ad z ksi\u0105\u017cki Paciolego dotyczy\u0142 turnieju \u0142uczniczego z udzia\u0142em trzech zawodnik\u00f3w, rozgrywanego tak\u017ce do 6 punkt\u00f3w i o tak\u0105 sam\u0105 jak poprzednio nagrod\u0119 w wysoko\u015bci 10 dukat\u00f3w, przerwanego w sytuacji, gdy jeden z graczy mia\u0142 4, drugi 3, a trzeci 2 zdobyte punkty. Tu te\u017c Pacioli zastosowa\u0142 podej\u015bcie ksi\u0119gowego, uznaj\u0105cego to, co ka\u017cdy z graczy \u201ema\u201d i zaproponowa\u0142 podzia\u0142 nagrody proporcjonalnie do liczby zdobytych punkt\u00f3w, czyli pierwszy z graczy powinien otrzyma\u0107 4 i 4\/9, drugi 3 i 1\/3, a trzeci 2 i 2\/9 dukata.<\/p>\n Niccol\u00f2 Fontana<\/p><\/div>\n Inny w\u0142oski matematyk, odkrywca metody rozwi\u0105zywania r\u00f3wna\u0144 trzeciego stopnia i jeden z pionier\u00f3w balistyki – Niccol\u00f2 Fontana <\/strong>zwany Tartaglia<\/strong>, w wydanej w 1556 roku ksi\u0105\u017cce <\/span>General tratatto di numeri e misure,<\/i> <\/i>zwr\u00f3ci\u0142 uwag\u0119 na to, \u017ce metoda Paciolego daje w niekt\u00f3rych przypadkach absurdalne wyniki. Je\u017celi w momencie przerwania meczu wynik by\u0142by 1:0, prowadz\u0105cy gracz zyskiwa\u0142by prawo do ca\u0142ej nagrody! Tartaglia zaproponowa\u0142, by o podziale nagrody decydowa\u0142 stosunek r\u00f3\u017cnicy liczby zdobytych punkt\u00f3w do liczby punkt\u00f3w niezb\u0119dnej do wygrania meczu. W przypadku wyniku 1:0 w meczu do 6 punkt\u00f3w prowadz\u0105cy otrzymywa\u0142by po\u0142ow\u0119 puli oraz 1\/6 z pozosta\u0142ych 5 dukat\u00f3w (bo 1\/6 to wynik dzielenia r\u00f3\u017cnicy zdobytych dot\u0105d punkt\u00f3w przez liczb\u0119 punkt\u00f3w niezb\u0119dn\u0105 do wygrania meczu). A w przyk\u0142adzie podanym przez Paciolego czyli wyniku 5:2 w momencie przerwania meczu \u2013 po\u0142ow\u0119 puli oraz (5-2)\/6 czyli po\u0142ow\u0119 z pozosta\u0142ych 5 dukat\u00f3w. W efekcie sprawiedliwy podzia\u0142 to wed\u0142ug Tartagli 75% do 25%.<\/p>\n Metoda zaproponowana przez Tartagli\u0119 te\u017c jednak nie zawsze dzia\u0142a\u0142a dobrze. Bo np. w meczu do 100 punkt\u00f3w wyznacza\u0142a podzia\u0142 55% do 45% zar\u00f3wno przy wyniku 55:45 jak i 99:89 i Tartaglia uzna\u0142, \u017ce problem nie ma jednoznacznego rozwi\u0105zania. Do wniosku o braku rozwi\u0105zania doszed\u0142 te\u017c na pocz\u0105tku XVI wieku Lorenzo Forestani. On z kolei proponowa\u0142, by policzy\u0107 stosunek liczby punkt\u00f3w ka\u017cdego gracza do maksymalnej d\u0142ugo\u015bci meczu, a reszt\u0119 rozdzieli\u0107 r\u00f3wno mi\u0119dzy graczy. Mecz do 6 wygranych mo\u017ce sk\u0142ada\u0107 si\u0119 maksymalnie z 11 partii, wi\u0119c graczowi, kt\u00f3ry zdoby\u0142 5 punkt\u00f3w przys\u0142uguje 5\/11 puli, a przeciwnikowi, kt\u00f3ry zdoby\u0142 2 punkty \u2013 2\/11. pozosta\u0142e 4\/11 nale\u017cy podzieli\u0107 po po\u0142owie. W ten spos\u00f3b pierwszy gracz uzyska 7\/11, a drugi 4\/11 puli. Procentowo b\u0119dzie to 63,6 do 36,4.<\/p>\n Wszystkie opisane wy\u017cej metody opiera\u0142y si\u0119 na punktach, kt\u00f3re gracze ju\u017c zdobyli. Bo tak rozumiana by\u0142a wtedy matematyka \u2013 dotyczy\u0142a tylko przesz\u0142o\u015bci i tera\u017aniejszo\u015bci, a przysz\u0142o\u015bci nie opisywa\u0142a. Przysz\u0142o\u015bci\u0105 w tamtej epoce mogli zajmowa\u0107 si\u0119 astrologowie, a nie matematycy.<\/p>\n Girolamo Cardano<\/p><\/div>\n By\u0107 mo\u017ce w\u0142a\u015bnie dlatego pierwszym, kt\u00f3ry zaproponowa\u0142 (i to ju\u017c w roku 1539) oparcie podzia\u0142u nagrody na liczbie punkt\u00f3w brakuj\u0105cych do zwyci\u0119stwa, a nie na liczbie ju\u017c zdobytych, by\u0142 Girolamo Cardano<\/strong> \u2013 lekarz, matematyk, wynalazca ale tak\u017ce astrolog. Trafnie oceni\u0142 te\u017c, \u017ce nie mo\u017ce to by\u0107 zwyk\u0142a proporcja liczby punkt\u00f3w brakuj\u0105cych do zako\u0144czenia gry. Zaproponowa\u0142 wi\u0119c jako miar\u0119 udzia\u0142u w wygranej sum\u0119 post\u0119pu arytmetycznego. Przyk\u0142adowo, je\u017celi gra toczy si\u0119 do 10 punkt\u00f3w, jeden z graczy zdoby\u0142 ich 9, a drugi 7, to nagrod\u0119 nale\u017cy podzieli\u0107 w proporcji 6 do 1, bo 6=1+2+3. Analogicznie, gdy stan meczu rozgrywanego do 10 punkt\u00f3w by\u0142 w chwili przerwania gry 6:3, to nagrod\u0119 nale\u017cy podzieli\u0107 w proporcji 28:10, bo 10-3=7 i 1+2+3+4+5+6+7=28, natomiast 10-6=4 i 1+2+3+4=10. W pierwotnym zagadnieniu Paciolego mieli\u015bmy mecz do 6 punkt\u00f3w, przerwany przy stanie 5:2, wi\u0119c zgodnie z metod\u0105 Cardana nagrod\u0119 nale\u017ca\u0142oby podzieli\u0107 w stosunku 10:1, a zatem prowadz\u0105cemu przys\u0142ugiwa\u0142oby 90,9% a drugiemu graczowi 9,1% puli.<\/p>\n Pierre Fermat<\/p><\/div>\n W 1654 roku zagadnieniem podzia\u0142u nagrody meczowej zainteresowa\u0142 si\u0119 francuski pisarz Antoine Gombaud,<\/strong> kt\u00f3ry w publicystycznych dialogach przedstawia\u0142 swoje pogl\u0105dy jako wypowiedzi fikcyjnego kawalera de Mere. Gombaud wprawdzie na matematyce si\u0119 nie zna\u0142, ale w\u015br\u00f3d licznych jego znajomych by\u0142 Blaise Pascal. O tym, jak w ko\u0144cu uda\u0142o si\u0119 doj\u015b\u0107 do w\u0142a\u015bciwego rozwi\u0105zania mo\u017cna dowiedzie\u0107 si\u0119 z list\u00f3w, jakie pisali do siebie Pascal i zamieszka\u0142y w Tuluzie prawnik ale z zami\u0142owania matematyk Pierre Fermat<\/strong>.<\/p>\n Blaise Pascal<\/p><\/div>\n Pascal<\/strong> przeanalizowa\u0142 nieco prostszy przypadek: dwaj gracze w\u0142o\u017cyli do puli po 32 pistole i gra toczy\u0142a si\u0119 do zdobycia 3 punkt\u00f3w. Mog\u0142a by\u0107 przerwana przy stanie 2:2, 2:1, 2:0, 1:1, 1:0 lub 0:0. W przypadku remisu sprawa by\u0142a prosta \u2013 obu graczom nale\u017ca\u0142o si\u0119 po po\u0142owie nagrody. Analiz\u0119 pozosta\u0142ych przypadk\u00f3w Pascal zacz\u0105\u0142 od 2:1. I tu zastosowa\u0142 prze\u0142omow\u0105 metod\u0119: okre\u015bli\u0142, co mo\u017ce wydarzy\u0107 si\u0119 p\u00f3\u017aniej. Mo\u017cliwo\u015bci by\u0142y dwie \u2013 albo nast\u0119pny punkt zdob\u0119dzie gracz prowadz\u0105cy i b\u0119dzie to oznacza\u0142o zako\u0144czenie meczu jego zwyci\u0119stwem albo drugi gracz i w ten spos\u00f3b doprowadzi do remisu. W pierwszym przypadku prowadz\u0105cy zdob\u0119dzie ca\u0142o\u015b\u0107 puli czyli 64 pistole , a w drugim ka\u017cdy zabierze swoje 32 pistole. St\u0105d wniosek, \u017ce pierwszy gracz powinien otrzyma\u0107 32 pistole (bo co najmniej tyle ma zagwarantowane w obu przypadkach) plus po\u0142ow\u0119 z pozosta\u0142ych 32 (bo nast\u0119pn\u0105 parti\u0119 mo\u017ce wygra\u0107 albo jeden albo drugi zawodnik). Tak wi\u0119c w przypadku meczu przerwanego przy stanie 2:1 sprawiedliwy podzia\u0142 to 48:16 pistoli czyli w stosunku 3:1. Przejd\u017amy teraz do przypadku 2:0. Je\u017celi kolejn\u0105 parti\u0119 wygra prowadz\u0105cy, to wygrywa mecz i zabiera ca\u0142\u0105 pul\u0119. Je\u017celi wygra drugi gracz, to b\u0119dziemy mieli wynik 2:1 czyli doprowadzimy do zbadanego ju\u017c przypadku, w kt\u00f3rym podzia\u0142 by\u0142 48:16. Rozumuj\u0105c tak jak wcze\u015bniej, mo\u017cemy przy stanie 2:0 przydzieli\u0107 pierwszemu graczowi (64+48)\/2=56 pistoli, a drugiemu graczowi 8. Za\u015b w przypadku wyniku 1:0, nast\u0119pna partia mo\u017ce zmieni\u0107 wynik na 2:0 (dla kt\u00f3rego mamy podzia\u0142 56:8) albo na 1:1, z podzia\u0142em 32:32. I wtedy sprawiedliwy b\u0119dzie podzia\u0142 puli w stosunku 44:20 czyli po skr\u00f3ceniu 11:5.<\/p>\n Wr\u00f3\u0107my teraz do pierwotnego problemu, postawionego przez Paciolego. Je\u017celi mecz zosta\u0142 przerwany przy stanie 5:2, to metod\u0105 zastosowan\u0105 przez Pascala uzyskujemy podzia\u0142 w stosunku 15:1, czyli 93,75%:6,25%. (Jak wida\u0107 wszystkie wcze\u015bniej pokazane rozwi\u0105zania by\u0142y krzywdz\u0105ce dla prowadz\u0105cego.) Niestety algorytm Pascala mia\u0142 istotn\u0105 wad\u0119. Przy du\u017cej liczbie punkt\u00f3w, brakuj\u0105cych \u0142\u0105cznie graczom do zwyci\u0119stwa, obliczenia by\u0142y do\u015b\u0107 \u017cmudne, a komputer\u00f3w jeszcze przecie\u017c nie by\u0142o. Znacznym uproszczeniem by\u0142o zastosowanie tr\u00f3jk\u0105ta arytmetycznego, kt\u00f3ry w wersji podanej przez Pascala wygl\u0105da\u0142 tak:<\/p>\n Znacznie bardziej czytelna jest wersja wsp\u00f3\u0142czesna:<\/p>\n<\/a><\/a><\/a><\/a><\/a><\/p>\n