{"id":820864,"date":"2023-03-16T10:00:00","date_gmt":"2023-03-16T09:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gamesfanatic.pl\/?p=820864"},"modified":"2023-03-15T16:30:17","modified_gmt":"2023-03-15T15:30:17","slug":"polimino","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/2023\/03\/16\/polimino\/","title":{"rendered":"Polimino"},"content":{"rendered":"

Co \u0142\u0105czy takie gry, jak Ksi\u0105\u017c\u0119ta Florencji, Wyspa Kot\u00f3w, Patchwork i Ubongo? Wszystkie te gry (i jeszcze ponad 200 innych) wykorzystuj\u0105 figury geometryczne zwane po angielsku polyominoes. Jaki jest polski odpowiednik tego s\u0142owa? Jeszcze nie wiadomo. Spotka\u0142em si\u0119 z nazwami polimino, poliomino i wielomino. A jak to wygl\u0105da w innych j\u0119zykach? W niemieckim, francuskim i holenderskim u\u017cywa si\u0119 angielskiej nazwy polyomino, we w\u0142oskim, portugalskim, rosyjskim, ukrai\u0144skim i esto\u0144skim \u2013 polimino, a w hiszpa\u0144skim poliomino. Najdziwniejsza jest nazwa plurkvadrato w j\u0119zyku esperanto.<\/span><\/p>\n

<\/p>\n

Poj\u0119cia \u201epolyomino\u201d jako pierwszy u\u017cy\u0142 w 1953 roku Solomon Golomb jako uog\u00f3lnienia\u00a0 z\u0142o\u017conego z dw\u00f3ch sklejonych kwadrat\u00f3w prostok\u0105ta, u\u017cywanego w grze domino. Polimino n-tego rz\u0119du to n sklejonych ze sob\u0105 w taki spos\u00f3b kwadrat\u00f3w, \u017ce kraw\u0119dzie s\u0105siednich pokrywaj\u0105 si\u0119 ze sob\u0105. Jak \u0142atwo zauwa\u017cy\u0107, domino czyli dwa kwadraty mo\u017cna z\u0142\u0105czy\u0107 ze sob\u0105 tylko na jeden spos\u00f3b, a uzyskan\u0105 w ten spos\u00f3b figur\u0119 u\u0142o\u017cy\u0107 na prostok\u0105tnej siatce na dwa sposoby \u2013 poziomo i pionowo. <\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

W przypadku trzech kwadrat\u00f3w mamy ju\u017c dwie mo\u017cliwo\u015bci \u2013 prostok\u0105t i k\u0105townik. Prostok\u0105t mo\u017cna ustawi\u0107 na dwa sposoby, a k\u0105townik ma 4 orientacje. Ale nadal nie wida\u0107 tu nic specjalnie interesuj\u0105cego.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Ciekawiej wygl\u0105da sytuacja w przypadku tetromina. Tu mamy ju\u017c 5 r\u00f3\u017cnych figur. Ale jak kto\u015b gra\u0142 w Tetrisa (a jest kto\u015b, kto nie gra\u0142?), to zapewne pami\u0119ta sytuacje, w kt\u00f3rych figura pasowa\u0142aby idealnie, gdy da\u0142o si\u0119 j\u0105 \u201eodwr\u00f3ci\u0107 na lew\u0105 stron\u0119\u201d. Dotyczy to dw\u00f3ch figur, oznaczonych na obrazku na pomara\u0144czowo i zielono. Ale mi\u0119dzy tymi dwoma figurami jest istotna r\u00f3\u017cnica \u2013 pomara\u0144czowa ma 8 orientacji, a zielona tylko 4, bo obr\u00f3t o 180 stopni nie zmienia orientacji albo raczej dwie orientacje pokrywaj\u0105 si\u0119 ze sob\u0105.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Najciekawszym poliminem jest zapewne z\u0142o\u017cone z 5 kwadrat\u00f3w pentomino. Pi\u0119\u0107 czy nawet siedem kamieni tetromina to troch\u0119 za ma\u0142o, by da\u0142o si\u0119 stworzy\u0107 ciekawe zadania, a w dodatku ani z dwustronnego ani jednostronnego zestawu tetromina nie da si\u0119 np. zbudowa\u0107 prostok\u0105ta. Co innego oczywi\u015bcie dynamiczny tetris ale tu mam na my\u015bli statyczn\u0105 \u0142amig\u0142\u00f3wk\u0119. A 12 kamieni pentomina daje ju\u017c bardzo du\u017co mo\u017cliwo\u015bci. Klasyczne zadanie to oczywi\u015bcie zbudowanie prostok\u0105ta. Prostok\u0105t 3×20 mo\u017cna zbudowa\u0107 na dwa sposoby, 4×15 na 368, 5×12 na 1010, a 6×10 a\u017c na 2339 sposob\u00f3w ale to nie znaczy, \u017ce \u0142atwo to zrobi\u0107. Podane liczby dotycz\u0105 rozwi\u0105za\u0144 istotnie r\u00f3\u017cnych tzn. wykluczaj\u0105 obroty i odbicia lustrzane. W ksi\u0105\u017ckach np. [1] i [2] a tak\u017ce na r\u00f3\u017cnych stronach internetowych mo\u017cna znale\u017a\u0107 setki a mo\u017ce nawet tysi\u0105ce r\u00f3\u017cnych zada\u0144 tzn. obrazk\u00f3w, kt\u00f3re mo\u017cna zbudowa\u0107 z kompletu pentomina.<\/span><\/p>\n

Ale pentomino to r\u00f3wnie\u017c<\/span>\u00a0dwuosobowa gra<\/a>, polegaj\u0105ca na uk\u0142adaniu kamieni na kwadratowej planszy 8×8. Gracze korzystaj\u0105 ze wsp\u00f3lnego zestawu element\u00f3w i uk\u0142adaj\u0105 je na planszy tak, aby na siebie nie zachodzi\u0142y. Wygrywa ten, kto jako ostatni po\u0142o\u017cy kamie\u0144 czyli innymi s\u0142owy uniemo\u017cliwi przeciwnikowi do\u0142o\u017cenie jakiegokolwiek kamienia.\u00a0<\/span><\/p>\n

W tabelce przedstawione s\u0105 podstawowe informacje o zestawach polimin kolejnych rozmiar\u00f3w.<\/span><\/p>\n

 <\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
n<\/span><\/td>\nNazwa<\/span><\/td>\nLiczba<\/span><\/td>\nLiczba\u00a0<\/span><\/td>\nLiczba<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n<\/td>\ndwustronnych<\/span><\/td>\njednostronnych<\/span><\/td>\norientacji<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
1<\/span><\/td>\nMonomino<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
2<\/span><\/td>\nDomino<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n1<\/span><\/td>\n2<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
3<\/span><\/td>\nTromino<\/span><\/td>\n2<\/span><\/td>\n2<\/span><\/td>\n6<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
4<\/span><\/td>\nTetromino<\/span><\/td>\n5<\/span><\/td>\n7<\/span><\/td>\n19<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
5<\/span><\/td>\nPentomino<\/span><\/td>\n12<\/span><\/td>\n18<\/span><\/td>\n63<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
6<\/span><\/td>\nHeksomino<\/span><\/td>\n35<\/span><\/td>\n60<\/span><\/td>\n216<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
7<\/span><\/td>\nHeptomino<\/span><\/td>\n108<\/span><\/td>\n196<\/span><\/td>\n760<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
8<\/span><\/td>\nOktomino<\/span><\/td>\n369<\/span><\/td>\n704<\/span><\/td>\n2 725<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
9<\/span><\/td>\nNonomino<\/span><\/td>\n1 285<\/span><\/td>\n2 500<\/span><\/td>\n9 910<\/span><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nOEIS<\/span><\/td>\nA000105<\/span><\/td>\nA000988<\/span><\/td>\nA001168<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\u00a0\u00a0<\/span><\/p>\n

Jak wida\u0107 zestaw heksomina ma 35 element\u00f3w, a heptomina 108. To ju\u017c troch\u0119 za du\u017co, \u017ceby da\u0142o si\u0119 z tego zrobi\u0107 zgrabn\u0105 \u0142amig\u0142\u00f3wk\u0119. Jak kogo\u015b interesuj\u0105 dane dla jeszcze wi\u0119kszych zestaw\u00f3w, to mo\u017ce je znale\u017a\u0107 na podstawie podanych w ostatnim wierszu symboli (np. A000105), oznaczaj\u0105cych numery odpowiednich ci\u0105g\u00f3w w bazie OEIS.\u00a0<\/span><\/p>\n

Na wst\u0119pie napisa\u0142em, \u017ce nazw\u0119 polyomino stworzy\u0142 Solomon Golomb. Nie oznacza to, \u017ce to w\u0142a\u015bnie on wymy\u015bli\u0142 polimino. Pierwsza \u0142amig\u0142\u00f3wka, wykorzystuj\u0105ca pentomino zosta\u0142a opublikowana w roku 1907. W latach 30-tych XX wieku \u0142amig\u0142\u00f3wki pentominowe pojawia\u0142y si\u0119 w angielskim czasopi\u015bmie szachowym. Jednak podobnie jak w wielu innych przypadkach, pierwsi byli Chi\u0144czycy, kt\u00f3rzy wymy\u015blili pentomino ju\u017c 2 tysi\u0105ce lat temu i to w kontek\u015bcie plansz\u00f3wkowym. Staro\u017cytni chi\u0144scy gracze w go zauwa\u017cyli, \u017ce sp\u00f3jny uk\u0142ad 5 kamieni mo\u017cna utworzy\u0107 na 12 sposob\u00f3w.<\/span><\/p>\n

W grach mog\u0105 by\u0107 wykorzystywane polimina r\u00f3\u017cnych rz\u0119d\u00f3w. Np. zestaw w grze Blokus<\/a> to wszystkie 21 polimin od rz\u0119du 1 do 5. W Ubongo<\/a> u\u017cywa si\u0119 12 kamieni – od domina poprzez tromino i tetromino do niekt\u00f3rych element\u00f3w pentomina.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a>

Zestaw do gry Ubongo<\/p><\/div>\n

Podobnie jest w grze Kopenhaga \u2013 najwi\u0119kszymi elementami s\u0105 pentomina ale nie wszystkie s\u0105 u\u017cywane. Natomiast w grze\u00a0 Wyspa Kot\u00f3w<\/a> wyst\u0119puj\u0105 niekt\u00f3re heksomina, a w grze Patchwork<\/a> nawet heptomina. Troch\u0119 \u201ena odwr\u00f3t\u201d kwestia polimina zosta\u0142a rozwi\u0105zana w grze Kartografowie. W zestawie nie ma polimin ale gracze je w trakcie rozgrywki rysuj\u0105.\u00a0<\/span><\/p>\n

Oczywi\u015bcie poliformy mo\u017cna tworzy\u0107 nie tylko z kwadrat\u00f3w ale r\u00f3wnie\u017c z tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w r\u00f3wnobocznych i sze\u015bciok\u0105t\u00f3w foremnych. Recenzowana niedawno na Games Fanatic gra Akropolis<\/a> ma w\u0142a\u015bnie \u017cetony w kszta\u0142cie poliheks\u00f3w.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Polimina to p\u0142askie figury zbudowane z kwadrat\u00f3w. Tr\u00f3jwymiarowym ich odpowiednikiem s\u0105 polycubes czyli polisze\u015bciany albo mo\u017ce polikubiki. Polikubiki z\u0142o\u017cone z dw\u00f3ch lub trzech sze\u015bcian\u00f3w odpowiadaj\u0105 dok\u0142adnie p\u0142askim poliminom. Trzeci wymiar zaczyna odgrywa\u0107 rol\u0119 dopiero w przypadku tetrakubik\u00f3w.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Jak wida\u0107 na obrazku, pierwsze 5 tetrakubik\u00f3w odpowiada dok\u0142adnie pi\u0119ciu tetrominom czyli s\u0105 to w istocie \u201ebry\u0142y p\u0142askie\u201d. Warto natomiast zwr\u00f3ci\u0107 uwag\u0119 na dwie ostatnie bry\u0142y. S\u0105 one nawzajem odbiciem lustrzanym ale nie ma mo\u017cliwo\u015bci, \u017ceby przez obracanie z jednej z nich otrzyma\u0107 drug\u0105. Mo\u017cna wi\u0119c powiedzie\u0107, \u017ce s\u0105 to bry\u0142y chiralne. (Przymiotnik \u201echiralny\u201d pochodzi od greckiego s\u0142owa oznaczaj\u0105cego r\u0119k\u0119, bo w\u0142a\u015bnie taki geometryczny zwi\u0105zek jest mi\u0119dzy lew\u0105 a praw\u0105 d\u0142oni\u0105.)<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Sze\u015b\u0107 tetrakubik\u00f3w (wszystkie poza dwoma \u015brodkowymi) i jeden polikubik, z\u0142o\u017cony z trzech sze\u015bcian\u00f3w tworz\u0105 \u0142amig\u0142\u00f3wk\u0119 Soma Cube, kt\u00f3rej autorem jest du\u0144ski architekt i poeta Piet Hein. Jej podstawowym zadaniem jest zbudowanie sze\u015bcianu. Mo\u017cna to zrobi\u0107 na 240 sposob\u00f3w ale wcale nie jest to \u0142atwe. Z element\u00f3w kostki mo\u017cna r\u00f3wnie\u017c zbudowa\u0107 wiele innych konstrukcji <\/span>http:\/\/web.inter.nl.net\/users\/C.Eggermont\/Puzzels\/Soma\/overzicht.html<\/span><\/a><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Pentakubik\u00f3w jest w sumie 29. Dwana\u015bcie z nich to pentomina, kolejne 12 to sze\u015b\u0107 par bry\u0142 chiralnych. Pozosta\u0142e pi\u0119\u0107 ma p\u0142aszczyzn\u0119 symetrii. Pentakubiki mo\u017cna wykorzysta\u0107 do zbudowania kostki 4x4x4. Jest kilka wersji takiej \u0142amig\u0142\u00f3wki: Bedlam Cube z 12 pentakubik\u00f3w (w tym trzech p\u0142askich) i jednego tetrakubika, Abraxis r\u00f3wnie\u017c z 12 pentakubik\u00f3w ale samych przestrzennych i jednego tetrakubika oraz Tetris Cube z 4 heksakubik\u00f3w i 8 pentakubik\u00f3w.<\/span><\/p>\n

Jedyn\u0105 chyba gr\u0105 z polikubikami jest Ubongo 3D<\/a>. Zadaniem gracza jest zbudowanie dwuwarstwowej konstrukcji z trzech do sze\u015bciu polikubik\u00f3w, z kt\u00f3rych najwi\u0119kszymi s\u0105 pentakubiki.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Przestrzenne konstrukcje mo\u017cna budowa\u0107 z samych p\u0142askich polikubik\u00f3w. Np. z zestawu 12 pentakubik\u00f3w, stanowi\u0105cego odpowiednik zestawu 12 pentomin, mo\u017cna zbudowa\u0107 prostopad\u0142o\u015bcian 5x4x3. Podobnie jest w przypadku \u0142amig\u0142\u00f3wek z serii Stax<\/a>, np. Cat Stax. \u201eKotokoszta\u0142tne\u201d elementy tej \u0142amig\u0142\u00f3wki s\u0105 geometrycznymi odpowiednikami p\u0142askich polimin, sk\u0142adaj\u0105cych si\u0119 z sze\u015bcian\u00f3w w liczbie dw\u00f3ch do dziesi\u0119ciu. A zadania w tej \u0142amig\u0142\u00f3wce polegaj\u0105 na zbudowaniu konstrukcji, sk\u0142adaj\u0105cych si\u0119 nawet z czterech warstw i niekt\u00f3re koty trzeba umie\u015bci\u0107 w kilku warstwach.<\/span><\/p>\n

<\/div>
<\/div>\n
    \n
  1. Robert Hardy \u201eGry w figury\u201d, Krajowa Agencja Wydawnicza, Warszawa 1983.<\/span><\/li>\n
  2. Zdzis\u0142aw Nowak \u201ePentomina i tangramy\u201d, Wydawnictwo Harcerskie \u201eHoryzonty\u201d, Warszawa 1971.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Co \u0142\u0105czy takie gry, jak Ksi\u0105\u017c\u0119ta Florencji, Wyspa Kot\u00f3w, Patchwork i Ubongo? Wszystkie te gry (i jeszcze ponad 200 innych) wykorzystuj\u0105 figury geometryczne zwane po angielsku polyominoes. Jaki jest polski odpowiednik tego s\u0142owa? Jeszcze nie wiadomo. Spotka\u0142em si\u0119 z nazwami polimino, poliomino i wielomino. A jak to wygl\u0105da w innych j\u0119zykach? W niemieckim, francuskim i holenderskim u\u017cywa si\u0119 angielskiej nazwy polyomino, we w\u0142oskim, portugalskim, rosyjskim, ukrai\u0144skim i esto\u0144skim \u2013 polimino, a w hiszpa\u0144skim poliomino. Najdziwniejsza jest nazwa plurkvadrato w j\u0119zyku esperanto.<\/p>\n","protected":false},"author":101,"featured_media":820957,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"cybocfi_hide_featured_image":"","footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"post_folder":[],"class_list":["post-820864","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/820864","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/users\/101"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=820864"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/820864\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/media\/820957"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=820864"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=820864"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=820864"},{"taxonomy":"post_folder","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/post_folder?post=820864"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}