{"id":821538,"date":"2023-04-06T10:00:00","date_gmt":"2023-04-06T08:00:00","guid":{"rendered":"https:\/\/www.gamesfanatic.pl\/?p=821538"},"modified":"2023-04-06T12:35:40","modified_gmt":"2023-04-06T10:35:40","slug":"pitagoras-i-potega-matematyki","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/2023\/04\/06\/pitagoras-i-potega-matematyki\/","title":{"rendered":"Pitagoras i pot\u0119ga matematyki"},"content":{"rendered":"

Sprawa zacz\u0119\u0142a si\u0119 chyba od moich komentarzy pod recenzj\u0105 gry Pitagoras<\/a>. Sugerowa\u0142y one, \u017ce gra mog\u0142aby si\u0119 sta\u0107 bardziej atrakcyjna, gdyby dopu\u015bci\u0107 wi\u0119kszy zakres dzia\u0142a\u0144. Redakcja Games Fanatic posz\u0142a tym tropem i og\u0142osi\u0142a konkurs<\/a>, w kt\u00f3rym wylosowan\u0105 na kostkach liczb\u0119 mo\u017cna uk\u0142ada\u0107 z liczb na kartach korzystaj\u0105c ze wszystkich znanych uczestnikom dzia\u0142a\u0144.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Gdy zobaczy\u0142em, co wypad\u0142o na kostkach i kartach, pomy\u015bla\u0142em, \u017ce sukcesem b\u0119dzie u\u0142o\u017cenie 10 r\u00f3wna\u0144. Ale nie wiedzia\u0142em, czy mog\u0119 w tym konkursie uczestniczy\u0107. Wed\u0142ug regulaminu nie mogli bra\u0107 w nim udzia\u0142u cz\u0142onkowie redakcji, a jestem raczej lu\u017anym wsp\u00f3\u0142pracownikiem. W odpowiedzi na t\u0119 w\u0105tpliwo\u015b\u0107 zaproponowano mi udzia\u0142 na specjalnych zasadach co uzna\u0142em za dobre rozwi\u0105zanie szczeg\u00f3lnie, \u017ce w mi\u0119dzyczasie zauwa\u017cy\u0142em mo\u017cliwo\u015b\u0107 wygenerowania niesko\u0144czenie wielu r\u00f3wna\u0144. Na zmian\u0119 regulaminu by\u0142o ju\u017c jednak za p\u00f3\u017ano ale na szcz\u0119\u015bcie nikt poza mn\u0105 na taki pomys\u0142 nie wpad\u0142.<\/p>\n

Gra jest przeznaczona dla os\u00f3b w wieku od 8 lat, wi\u0119c zacznijmy od dzia\u0142a\u0144, kt\u00f3re powinien zna\u0107 o\u015bmiolatek. Pozwalaj\u0105 one na u\u0142o\u017cenie trzech rozwi\u0105za\u0144:<\/p>\n

(8 \u2013 7 + 5) x 10 + 14<\/span><\/span><\/p>\n

(8 \u2013 7 + 5) x 14 \u2013 10<\/span><\/span><\/p>\n

(14 x 10 + 8) \/ (7 \u2013 5)<\/span><\/span><\/p>\n

Patrz\u0105c na dwa pierwsze rozwi\u0105zania mo\u017cna wyci\u0105gn\u0105\u0107 dwa wnioski. Po pierwsze s\u0105 to rozwi\u0105zania maj\u0105ce podobn\u0105 struktur\u0119: jedno 6 x 10 + 14, a drugie 6 x 14 \u2013 10. Je\u017celi wi\u0119c uda si\u0119 z liczb 5, 7 i 8 uzyska\u0107 w jaki\u015b inny spos\u00f3b 6, to mamy od razu dwa nowe rozwi\u0105zania. Drugi wniosek jest taki, \u017ce nale\u017cy przyjrze\u0107 si\u0119 liczbom odleg\u0142ym od 74 o warto\u015b\u0107 jednej karty. Czyli liczbom 60, 64, 66, 67, 69, 79, 81, 82, 84 i 88. Je\u017celi kt\u00f3r\u0105\u015b z tych liczb da si\u0119 zbudowa\u0107 z 4 kart z wy\u0142\u0105czeniem tej, kt\u00f3ra odpowiada odleg\u0142o\u015bci od 74, to mamy rozwi\u0105zanie. W pierwszym przypadku jest to w\u0142a\u015bnie zestaw liczb 5, 7, 8 i 10.<\/p>\n

Z zestawu liczb wartych zainteresowania rzucaj\u0105 si\u0119 w oczy dwie: 64 i 81. Obie z nich stanowi\u0105 pot\u0119gi liczb ca\u0142kowitych:<\/p>\n

64 = 8<\/span><\/span>2 <\/span><\/span><\/sup>= 4<\/span><\/span>3 <\/span><\/span><\/sup>= 2<\/span><\/span>6<\/span><\/span><\/sup><\/p>\n

81 = 9<\/span><\/span>2<\/span><\/span><\/sup> = 3<\/span><\/span>4<\/span><\/span><\/sup><\/p>\n

Mo\u017cna wi\u0119c np. u\u0142o\u017cy\u0107 dzia\u0142ania:<\/p>\n

8<\/span><\/span>(7-5)<\/span><\/span><\/sup> + 10<\/span><\/span><\/p>\n

(7 – 5)<\/span><\/span>(14-8) <\/span><\/span><\/sup>+ 10<\/span><\/span><\/p>\n

(14 \u2013 5)<\/span><\/span>(10-8)<\/span><\/span><\/sup> \u2013 7<\/span><\/span><\/p>\n

(8 \u2013 5)<\/span><\/span>(14-10) <\/span><\/span><\/sup>\u2013 7<\/span><\/span><\/p>\n

Dodatkowe rozwi\u0105zanie mo\u017cna uzyska\u0107 dzi\u0119ki temu, \u017ce parzysta pot\u0119ga liczby ujemnej jest liczb\u0105 dodatni\u0105. Bo z jednej strony 5 \u2013 7 = – 2 to nie to samo, co 7 \u2013 5 = 2 ale 2 i (\u2013 2) podniesione do sz\u00f3stej pot\u0119gi tak samo daj\u0105 64.<\/p>\n

Kolejne mo\u017cliwo\u015bci daje wprowadzenie silni. Jest to funkcja, kt\u00f3rej warto\u015b\u0107 dla argumentu n stanowi iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Daje ona natychmiast alternatywne metody uzyskania liczby 6, o czym pisa\u0142em wcze\u015bniej:<\/p>\n

(8 \u2013 5)! = 3! = 1 x 2 x 3 = 6<\/span><\/span><\/p>\n

((8 + 7) \/ 5)! = (15 \/ 5)! = 6 <\/span><\/span><\/p>\n

Jest te\u017c metoda bardziej wyrafinowana:<\/p>\n

(8! \/ 7! \u2013 5)! = (8 \u2013 5)! = 6<\/span><\/span><\/p>\n

Silnia pozwala na uzyskanie kilkunastu innych rozwi\u0105za\u0144, np.<\/p>\n

5! \u2013 7 x 8 + 10<\/span><\/span><\/p>\n

10 x 8 \u2013 (5 \u2013 14\/7)!<\/span><\/span><\/p>\n

(14 \u2013 8)! \/ 10 + 7 \u2013 5<\/span><\/span><\/p>\n

14 x 7 \u2013 (8 x 5 \/ 10)!<\/span><\/span><\/p>\n

10 x 5 + (8 x 7 \/ 14)!<\/span><\/span><\/p>\n

Funkcja silnia umo\u017cliwia wygenerowanie niesko\u0144czonej liczby rozwi\u0105za\u0144. Jeden z uczestnik\u00f3w konkursu wpad\u0142 na ten trop ale na szcz\u0119\u015bcie go nie wykorzysta\u0142 \ud83d\ude0a Przes\u0142a\u0142 kilka par bardzo podobnych rozwi\u0105za\u0144, np:<\/p>\n

8<\/span><\/span>(7-5)<\/span><\/span><\/sup> + 10<\/span><\/span><\/p>\n

8<\/span><\/span>(7-5)!<\/span><\/span><\/sup> + 10<\/span><\/span><\/p>\n

Skorzysta\u0142 wi\u0119c z tego, \u017ce 2! = 2. Ale przecie\u017c tak\u017ce (2!)! = 2 nast\u0119pnie ((2!)!)! = 2 i tak dalej czyli w rezultacie mo\u017cna stworzy\u0107 niesko\u0144czon\u0105 liczb\u0119 rozwi\u0105za\u0144, r\u00f3\u017cni\u0105cych si\u0119 tylko liczb\u0105 wykrzyknik\u00f3w czyli symboli silni.<\/p>\n

Opr\u00f3cz zwyk\u0142ej silni jest jeszcze silnia podw\u00f3jna, definiowana jako iloczyn kolejnych liczb nieparzystych lub parzystych. Przyk\u0142adowo 5!! = 1 x 3 x 5 = 15. Daje to kolejne mo\u017cliwo\u015bci:<\/p>\n

7!! \u2013 5!! \u2013 14 \u2013 10 + 8<\/span><\/span><\/p>\n

10 x 8 \u2013 7 \u2013 14 + 5!!<\/span><\/span><\/p>\n

Jednak z podw\u00f3jnej silni nikt poza mn\u0105 nie skorzysta\u0142. Nikt poza mn\u0105 nie zauwa\u017cy\u0142 te\u017c, \u017ce logarytm dziesi\u0119tny przyj\u0119\u0142o si\u0119 zapisywa\u0107 bez podawania podstawy czyli log 10 = 1 i st\u0105d mamy takie rozwi\u0105zanie:<\/p>\n

(7 + 8) x 5 \u2013 log 10<\/span><\/span><\/p>\n

 <\/p>\n

Kolejn\u0105 operacj\u0105 zwi\u0119kszaj\u0105c\u0105 liczb\u0119 mo\u017cliwo\u015bci jest modulo. Nazwa mo\u017ce brzmie\u0107 gro\u017anie ale jest to po prostu znane wszystkim z podstaw\u00f3wki dzielenie z reszt\u0105. Przyk\u0142adowo dzia\u0142anie 14 mod 5, w niekt\u00f3rych j\u0119zykach programowania zapisywane jako 14 % 5, daje w efekcie warto\u015b\u0107 4. Najprostszym sposobem wykorzystania modulo jest rozwi\u0105zanie:<\/p>\n

10 x 7 + (14 mod 5)<\/span><\/span><\/p>\n

Jednak zwyci\u0119zca konkursu znalaz\u0142 niesamowite zastosowanie dzia\u0142ania modulo i za samo to rozwi\u0105zanie (gdyby nie poda\u0142 blisko 30 innych) nale\u017ca\u0142aby si\u0119 mu nagroda:<\/p>\n

10<\/span><\/span>8×5 <\/span><\/span><\/sup>mod (14 x 7)<\/span><\/span><\/p>\n

Kontrowersyjnym dzia\u0142aniem jest obcinanie do warto\u015bci ca\u0142kowitej, czyli funkcja nazywana kiedy\u015b z francuska \u201eentier\u201d a teraz cz\u0119\u015bciej \u201efloor function\u201d albo po prostu \u201epod\u0142oga\u201d i oznaczana nawiasem prostok\u0105tnym. Przyk\u0142adowo [14 \/ 5] = 2. Pocz\u0105tkowo mia\u0142em zamiar tej funkcji u\u017cy\u0107 ale uzna\u0142em, \u017ce daje ona zbyt du\u017co mo\u017cliwo\u015bci. Na szcz\u0119\u015bcie tylko jeden uczestnik konkursu z entier skorzysta\u0142 i to tylko w niewielkim zakresie, podaj\u0105c takie oto rozwi\u0105zanie:<\/p>\n

10 x 7 + 5 \u2013 [14 \/ 8]<\/span><\/span><\/p>\n

oraz kilka z obci\u0119ciem do liczby ca\u0142kowitej wyniku pierwiastkowania.<\/p>\n

A mo\u017cliwo\u015bci tej funkcji s\u0105 ogromne, szczeg\u00f3lnie w powi\u0105zaniu z innymi mniej znanymi funkcjami np. hiperbolicznymi. Bo tak si\u0119 akurat sk\u0142ada, \u017ce zar\u00f3wno sinus jak i cosinus hiperboliczny liczby 5 maj\u0105 warto\u015bci nieznacznie przekraczaj\u0105ce 74, wi\u0119c po zastosowaniu entier mamy [sinh(5)] = 74 i [cosh(5)] = 74.<\/p>\n

Nawiasem m\u00f3wi\u0105c obok funkcji \u201epod\u0142oga\u201d istnieje te\u017c funkcja \u201esufit\u201d (po angielsku \u201eceiling\u201d) czyli zaokr\u0105glenie w g\u00f3r\u0119 do najbli\u017cszej liczby ca\u0142kowitej.<\/p>\n

Jeden z uczestnik\u00f3w wykorzysta\u0142 w nades\u0142anym rozwi\u0105zaniu liczb\u0119 .5 w zapisie kalkulatorowym czy komputerowym r\u00f3wnowa\u017cn\u0105 0,5. Takie rozwi\u0105zanie nie mo\u017ce by\u0107 jednak uznane, bo w zadaniu konkursowym mo\u017cna by\u0142o korzysta\u0107 wy\u0142\u0105cznie z liczb wylosowanych na kartach, a liczba 0,5 to nie to samo co 5. Ograniczenie do liczb wylosowanych na kartach pozwala te\u017c na \u201ezbanowanie\u201d rozwi\u0105za\u0144, korzystaj\u0105cych z pewnych symboli, stanowi\u0105cych w istocie liczby. Nie mo\u017cna wi\u0119c by\u0142o korzysta\u0107 z takich sztuczek, jak u\u017cycie |cos(\u03c0)| czy ln(e), by nast\u0119pnie wielokrotnie mno\u017cy\u0107 rozwi\u0105zania przez uzyskane z tych dzia\u0142a\u0144 jedynki.<\/p>\n

A teraz seria rozwi\u0105za\u0144 bardziej skomplikowanych, wykorzystuj\u0105cych symbole sumy, iloczynu, ca\u0142ki i dwumianu Newtona:<\/p>\n

\"\"<\/a>Nie s\u0105 to zreszt\u0105 jedyne mo\u017cliwo\u015bci u\u017cycia tych symboli ale nie chcia\u0142em zbytnio stresowa\u0107 humanist\u00f3w, kt\u00f3rzy mo\u017ce przypadkowo czytaj\u0105 ten felieton.<\/p>\n

I na koniec do\u015b\u0107 zaskakuj\u0105cy pomys\u0142, kt\u00f3rego w pierwszej chwili nie potrafi\u0142em zinterpretowa\u0107:<\/p>\n

(10 x 14)<\/span><\/span>7<\/span><\/span><\/sub> + 5 \u2013 8<\/span><\/span><\/p>\n

Ot\u00f3\u017c ma\u0142a cyfra 7 za nawiasem oznacza si\u00f3demkowy uk\u0142ad pozycyjny, w kt\u00f3rym ka\u017cda cyfra odpowiada kolejnej pot\u0119dze si\u00f3demki. Ca\u0142a operacja wygl\u0105da wi\u0119c tak: najpierw normalnie mno\u017cymy 10 przez 14 uzyskuj\u0105c 140, nast\u0119pnie t\u0119 liczb\u0119 140 interpretujemy tak, jakby by\u0142a w systemie si\u00f3demkowym czyli liczmy 1 x 7 x 7 + 4 x 7 + 0 = 77 i dalej dzia\u0142amy w systemie dziesi\u0105tkowym, wykonuj\u0105c dodawanie i odejmowanie.<\/p>\n

Chyba po przeczytaniu tego tekstu nikt nie b\u0119dzie mia\u0142 w\u0105tpliwo\u015bci do zasygnalizowanej w tytule pot\u0119gi matematyki.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/p>\n

Od Redakcji<\/h4>\n

Skoro wyniki zosta\u0142y ju\u017c om\u00f3wione (a fragmenty zwyci\u0119skich odpowiedzi mo\u017cecie zobaczy\u0107 na ilustracji powy\u017cej) pozostaje ju\u017c tylko og\u0142osi\u0107 zwyci\u0119zc\u0119:<\/p>\n

I miejsce<\/strong> w konkursie zdobywa Karol Mas\u0142owski<\/strong>, kt\u00f3ry wyra\u017anie zdystansowa\u0142 wszystkich pozosta\u0142ych uczestnik\u00f3w nadsy\u0142aj\u0105c ponad 30 poprawnych rozwi\u0105za\u0144. Tym samym otrzymuje od wydawnictwa Egmont gr\u0119 Pitagoras<\/p>\n

II miejsce<\/strong> i r\u00f3wnie\u017c gr\u0119 Pitagoras otrzymuje \u017belek<\/strong>.<\/p>\n

Nikomu nie uda\u0142o si\u0119 pokona\u0107 Pana Micha\u0142a<\/strong> – pomijaj\u0105c pomys\u0142 na uzyskanie niesko\u0144czenie wielu rozwi\u0105za\u0144 – nades\u0142a\u0142 ich a\u017c 37. Niemniej Redakcja zdecydowa\u0142a, aby przyzna\u0107 nagrod\u0119-niespodziank\u0119 Karolowi Mas\u0142owskiemu za fenomenalne pomys\u0142y i bardzo ciekawe rozwi\u0105zania.<\/p>\n

Gratulujemy!<\/strong><\/p>\n

Wszystkim serdecznie dzi\u0119kujemy za udzia\u0142 a z laureatami skontaktujemy si\u0119 drog\u0105 e-mailow\u0105.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sprawa zacz\u0119\u0142a si\u0119 chyba od moich komentarzy pod recenzj\u0105 gry Pitagoras. Sugerowa\u0142y one, \u017ce gra mog\u0142aby si\u0119 sta\u0107 bardziej atrakcyjna, gdyby dopu\u015bci\u0107 wi\u0119kszy zakres dzia\u0142a\u0144. Redakcja Games Fanatic posz\u0142a tym tropem i og\u0142osi\u0142a konkurs, w kt\u00f3rym wylosowan\u0105 na kostkach liczb\u0119 mo\u017cna uk\u0142ada\u0107 z liczb na kartach korzystaj\u0105c ze wszystkich znanych uczestnikom dzia\u0142a\u0144.<\/p>\n","protected":false},"author":101,"featured_media":821620,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"cybocfi_hide_featured_image":"","footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"post_folder":[],"class_list":["post-821538","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/821538","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/users\/101"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=821538"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/821538\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/media\/821620"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=821538"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=821538"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=821538"},{"taxonomy":"post_folder","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp4wpuw.pedagog.uw.edu.pl\/test\/wp-json\/wp\/v2\/post_folder?post=821538"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}